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Équations différentielles du premier ordre

by Michel 0 Comments

Dans cet article étudions la résolution des équations différentielles du premier ordre d’une seule variable. Nous nous limiterons aux équations linéaires à coefficients constants.

 

equations differentielles du premier ordre

 

Définition de l’équation différentielle du premier ordre

Notions préalables

Une équation différentielle du premier ordre est une équation reliant x, f(x) et f ‘(x).

Une équation linéaire est de la forme :

a(x) y’ + b(x) y = f(x)

où a, b et f sont des fonctions connues et où l’on cherche à déterminer y(x).

Dans une EDL à coefficients constants a et b sont des constantes.

 

Domaine de validité

Les solutions de l’équation seront valables là où f1, f2 et f3 sont définies.

 

On va d’abord résoudre l’équation sans second membre.

 

Résolution des équations différentielles du premier ordre à coefficients constants sans second membre

L’équation sans second membre, encore appelée homogène, s’obtient en omettant f(x) :

a y’ + b y = 0 donne, en réarrangeant, y’/y = -b/a  qui s’écrit aussi : dy/y = -b/a dx

On intègre et cela donne : ln (|y|) = -b/a x + cte (c’est ce qu’on appelle la dérivée logarithmique)

On passe à l’exponentielle pour obtenir : y = ±eC e-b/a x  ou encore :  y = k e-b/a x    avec k réel comme raccourci pour ±eC .

y = k e-bx/a

L’équation sans second membre ay’ + by = 0 a donc pour solution

y = k e-bx/a

 

Résolution avec second membre

Les solutions de l’équation sont de la forme y = ys + yp où ys est la solution sans second membre et yp est une solution particulière.

La solution particulière peut être trouvée dans différents cas par le fait qu’elle a une forme particulière fonction de celle du second membre.

Pour utiliser le tableau suivant il suffit de chercher une solution particulière de la forme voulue.

Voici des solutions particulières en fonctions de f(x).

 

Solutions particulières communes pour l’équation différentielle ay’ + by = f(x)

f(x) Solution particulière
Constante C

C/b si b ≠ 0

Cx/ a si b = 0

P(x) de degré n

Q(x) de degré n si b ≠ 0

x Q(x), avec Q de degré n si b = 0

P(x) esx

avec s réel et P de degré n

 

Q(x) esx de degré n si s ≠ -b/a

x Q(x) esx , avec Q de degré n si s = -b/a

 α cos(ωx + φ) + β sin(ωx + φ)

ω et φ réels, ω non nul

  A cos(ωx + φ) + B sin(ωx + φ)

esx ( autre fonction)

on peut essayer un changement de fonction

y = z esx

Si f(x) = f1(x) + f2(x) ci-dessus

 F1(x) + F2(x)

On somme les deux solutions particulières

 

Comme moyens mnémotechniques on pourra remarquer que quand la partie en b (liée à y) est nulle il faut un degré de plus car il y a une sorte de dégénérescence.

Ainsi, la solution particulière comporte un polynôme de degré deg(P) si pas de dégénérescence, de degré deg(P) + 1 et valuation 1 si dégénérescence.

Je rappelle qu’un polynôme de valuation 1 n’a pas de terme constant. La valuation est le degré du monôme de plus bas degré du polynôme.

On remarquera aussi que la forme de la solution est très ressemblante.

 

Méthode de la variation de la constante

Quand on ne connaît pas de forme connue de solution particulière on peut utiliser la méthode de la variation de la constante.

On remplace la constante dans la solution de l’EDL homogène par une fonction. On fait comme si la constante k était une fonction de x. Et on cherche cette fonction.

y = k(x) e-b/a x

On remplace cette expression de y dans l’équation avec second membre. Ensuite on cherche k(x)

On arrive à une équation de la forme k’ = ( f(x)/a) ebx/a

et on résout pour trouver k. Une solution particulière est k(x) e-bx/a.

Ne pas oublier l’exponentielle !

 

Diverses méthodes

Séparation

Quand on a une équation de la forme dy/dx = g(x)/h(y) on peut séparer les fonctions :

h(y)dy = g(x)dx

et on intègre.

 

Facteur d’intégration

On veut résoudre y’ + P(x) y = f(x)

Pour cela on peut calculer le facteur d’intégration R(x) = exp(∫P(x) dx)

Or (R(x) y)’ = P(x) R(x) y + R(x) y’

Si l’on multiplie l’équation différentielle par R(x) on obtient : R(x) y’ + P(x) R(x) y’ = R(x) f(x)

On a donc (R(x) y)’ = R(x) f(x), d’où :

y = ( ∫R(x) f(x) + constante) / R(x)

 

Voir aussi :

 

 

Photo : geralt

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