Math 15 Minutes - Devenir fort en Maths pour intégrer une prépa scientifique

Exercice de majoration d’intégrale

Faisons un petit exercice simple relatif à la majoration d’intégrale. On suppose qu’une fonction f(x) définie entre 0 et 1 prend ses valeurs entre les réels m et M. On suppose en plus que \(\int_{0}^{1}{f} =0\). Montrons que \(\int_{0}^{1}{f^2} \leq -mM\).

 

majoration integrale

 

Remarques préliminaires

Apprendre à observer ce que l’on a dans l’énoncé est important. Parfois il n’y a pas besoin de connaître des théorèmes particuliers. Le simple bon sens et un peu d’astuce suffisent

Pourquoi avons-nous -mM ? C’est que m doit être négatif. Car l’intégrale de f2 est positive. De plus, pour que l’intégrale de f soit nulle il faut que f soit par moments négative. m est donc négatif.

Ensuite, quand on a mM c’est certainement qu’il faut faire quelque part un produit. Mais comment obtenir un produit ? Et, surtout, avec quoi ?

Enfin, un dessin est parfois très utile.

 

majoration integrale

 

La majoration d’intégrale

Pour aboutir à une inégalité il faut partir d’une inégalité certaine. Par exemple, on sait que pour tout x entre 0 et 1 on a :

  • f(x) – M <= 0
  • et f(x) – m >= 0.

Si l’on multipliait ces deux f – M par f – m on aurait :

  • (f – M) (f – m) <= 0

En intégrant on aurait encore :

  • \(\int_{0}^{1}{(f – M) (f – m)} \leq 0\)

 

Développons…

\(\int_{0}^{1}{(f – M) (f – m)} = \int_{0}^{1}{f^2} + \int_{0}^{1}{mM} – (M + m)\int_{0}^{1}{f}\leq 0\)

Or, on sait que \((M + m)\int_{0}^{1}{f} = 0\)

Il reste donc :

\(\int_{0}^{1}{f^2} + \int_{0}^{1}{mM} \leq 0\)

Ou encore :

\(\int_{0}^{1}{f^2} \leq -\int_{0}^{1}{mM}\)

Or, \(-\int_{0}^{1}{mM} = -mM\)

 

Ainsi, on a montré que :

\(\int_{0}^{1}{f^2} \leq -mM\)

CQFD !

 

Debriefing

Cet exercice peut être compliqué si l’on n’a pas opté pour cette astuce. C’est pour cela que j’ai fait les remarques préliminaires. En fait, ce genre de preuve est une pratique courante, notamment quand on veut prouver l’inégalité de Cauchy-Schwartz.

On retiendra donc qu’il faut parfois sortir du chapeau des produits astucieux pour prouver des inégalités. C’est un coup à prendre. On y arrive par l’entraînement. Comme dans bien des domaines.

 

  Photo: skeeze

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