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Groupe – monoïde et magma

Dans cet article nous allons découvrir les joies de groupe et, peut-être, découvrir ce qu’est un magma.

 

groupe monoide magma

 

Loi de composition interne

Une loi de composition interne sur un ensemble E est toute application de E x E dans E.

 

Magma

Un magma est tout couple (E, *) où E est un ensemble et * une loi de composition interne sur E.

Remarque : un magma peut aussi porter sur plusieurs lois : (E, *, ⊕, ⊗, ., +).

 

Monoïde

Un monoïde est un magma (E, *) vérifiant :

  • * est associative
  • E admet un élément neutre pour *

 

Groupe

Un groupe est un magma (G, *) vérifiant :

  • * est associative
  • G contient un élément neutre pour *
  • tout élément de G admet un symétrique dans G pour *

Un groupe est un magma où tout élément admet un symétrique pour *.

 

Caractériser un groupe

Pour que E soit un groupe avec la loi * il faut vérifier que :

  • E est non vide
  • * est une loi de composition interne de E x E dans E
  • * est associative
  • E contient un élément neutre e pour *
  • ∀x ∈ E, ∃x’ ∈ E, x * x’ = x’ * x  e

 

Moyen mnémotechnique

Un moyen mnémotechnique pour retenir la définition d’un groupe peut être :

Le groupe associé reste neutre devant le symétrique.

 

 

Photo : skeeze

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