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L’anneau intègre des entiers de Gauss

Prêts à découvrir un anneau particulier appelé anneau des entiers de Gauss ? Cet ensemble est intéressant car il a de nombreuses propriétés. Et il peut servir de source à des  contre-exemples en algèbre.

 

anneau des entiers de gauss

 

Définition des entiers de Gauss

Les entiers de Gauss forment un ensemble défini par a + ib avec a et b entiers relatifs.

{a + ib, a et b ∈ \(\mathbb{Z}\)}

On le note \(\mathbb{Z}\)[i].

 

Structure d’anneau

L’ensemble des entiers de Gauss muni de l’addition et de la multiplication est muni d’une structure d’anneau commutatif intègre. C’est aussi un sous-anneau de \(\mathbb{C}\). En fait c’est l’anneau des entiers algébriques du corps des rationnels de Gauss, c’est-à-dire l’ensemble des rationnels de Gauss dont le polynôme irréductible normalisé est à coefficients entiers.

Ses éléments inversibles sont 1, -1, -i et i.

 

Si on note un entier de Gauss (a, b), alors :

  • (a, b) – (c, d) = (a – c, b – d)
  • (a, b) x (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

Les éléments neutres sont (0, 0) et (1, 0)

Il n’y a pas de diviseur de zéro ( a x b = 0 ⇒a = 0 ou b = 0) et il ne s’agit pas de l’anneau nul (1 ≠ 0), donc cet anneau est intègre.

 

La norme d’un entier de Gauss

On définit la norme d’un entier de Gauss A = (a, b) par :

N(A) = a2 + b2

Attention ! C’est le carré de la norme que l’on connaît bien dans un espace euclidien.

N(z) = |z|2 = z\(\bar{z}\) avec z ∈ \(\mathbb{Z}\)[i]

∀a,b ∈ \(\mathbb{Z}\)[i] N(ab) = N(a)N(b)

 

Division euclidienne

Avec les entiers de Gauss on va utiliser la norme pour caractériser le reste.

Si a et b sont deux entiers de Gauss, alors il existe deux entiers de Gauss q et r tels que :

a = bq + r avec N(r) < N(b)

Cela revient à trouver un encadrement de a/b par des couples d’entiers.

Le résultat de la division euclidienne n’est pas unique avec l’anneau des entiers de Gauss !

Exemple

a = 20 + 4i  et  b = 2 – i

a/b = (20 + 4i) / (2 – i)  donne, en multipliant en haut et en bas par la valeur conjuguée de 2 – i :

a/b = (2 + i) (20 + 4i) / ((2- i)(2 +i)) = (36 + 28i)/5 = 7,2 + 5,6i

Si on représente a/b dans le plan complexe, les solutions de la division euclidienne sont les quatre coin du carré vert.

entier gauss division euclidienneDivision euclidienne dans \(\mathbb{Z}\)[i]

Les solutions sont donc : (7, 5), (8, 5), (7, 6), (8, 6).

 

Photo : Ryan McGuire

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