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Matrice, moment, produits d’inertie – théorème de Guldin et de Huygens

Dans cet article nous revoyons les bases du calcul des moments, produits et matrices d’inertie. Formules et moyens mnémotechniques exposés de manière simple.

 

inertie moment produits matrice guldin huygens

Centre d’inertie

Barycentre

Le barycentre G vérifie :

barycentre zero

 

 

ou encore   barycentre formule

Le centre d’inertie

Dans le centre d’inertie, le coefficient devient un élément de masse. Le centre d’inertie est le centre de gravité.

barycentre integrale

Tout élément de symétrie d’un système contient son centre d’inertie.

 

Théorème de Guldin

L’aire engendrée par la rotation d’une courbe plane homogène de longueur L autour d’un axe de son plan ne la traversant pas est égale à :

2π xG L

où xG est la distance du centre d’inertie de la courbe à l’axe.

 

Le volume engendré par la rotation d’une surface S plane homogène autour d’un axe dans son plan ne la traversant pas est égal à :

2π xG S

où xG est la distance du centre d’inertie de la surface à l’axe.

 

Moment d’inertie et produits d’inertie

Moment d’inertie

Le moment d’inertie d’un point P de masse m par rapport à un point A (moment d’inertie ponctuel) ou par rapport à un axe (moment d’inertie axial) ou par rapport à un plan (moment d’inertie planaire) situé à une distance d est :

IA(P) = md2

Pour un ensemble de point on fait la somme.

Pour un ensemble continu :

moment inertie integrale

Produits d’inertie

Un produits d’inertie utilise non pas la distance au carré par rapport à un point mais le produit des distances par rapport à deux plans orthogonaux.

JP1P2(P) = md1d2

En continu :

produit d'inertie

 

Dans un repère orthonormé

Si l’on se place dans un repère orthonormé Oxyz :

Moments planaires en O

Par exemple, la distance par rapport au plan Oyz est x. On retrouve les autres valeurs par permutations.

\(I_{O_{yz}} (P) = A’=\int{x^{2} dm}\hspace{30 pt}  I_{O_{zx}} (P) = B’=\int{y^{2} dm}\hspace{30 pt}  I_{O_{xy}} (P) = C’=\int{z^{2} dm}\)

Moments d’inertie axiaux en O

Dans le repère la distance par rapport à l’axe Ox au carré est y2 + z2. On déduit les autres formules par des permutations.

distance axe

\(I_{O_{x}} (P) = A=\int{(y^{2}+z^{2}) dm}\hspace{30 pt}  I_{O_{y}} (P) = B=\int{(z^{2}+x^{2}) dm}\hspace{30 pt}  I_{O_{z}} (P) = C=\int{(x^{2}+y^{2}) dm}\)

Produits d’inertie par rapport aux plans

La distance par rapport au plan Oxy est z. On procède ensuite par permutations.

\(I_{O_{xz}O_{xy}} (P) = D=\int{yz dm}\hspace{30 pt}  I_{O_{xy}O_{yz}} (P) = E=\int{zxdm}\hspace{30 pt}  I_{O_{yz}O_{xz}} (P) = F=\int{xydm}\)

 

Relations :

  • IO = A’ + B’ + C’
  • IO = (A + B + C)/2
  • IO = A + A’ = B + B’ = C + C’
  • A = B’ + C’
  • B = C’ + A’
  • C = A’ + B’

 

Matrice d’inertie

Ce que nous avons écrit juste avant préparait l’arrivée de la matrice d’inertie. Dans cette matrice on va placer :

  • dans la diagonale les moments d’inertie axiaux en O
  • ailleurs les produits d’inertie correspondant aux x, y et z reliées aux colonnes (1ère colonne : x, etc).

matrice d'inertie

On pourra retenir le sens des flèches pour la répartition des lettres, mais la petite astuce avec les colonnes suffit aussi.

Cette matrice est obtenue en développant l’expression suivante avec un vecteur quelconque Ω (p, q, r) et OP(x, y, z) puis en extrayant Ω.

\(\vec{\sigma_{O}}=\int\vec{OP}\wedge(\vec{\sigma}\wedge\vec{OP})dm\)

On obtient la matrice en exprimant \(\vec{\sigma_{O}}\) sous la forme :

\(\vec{\sigma_{O}}=\bar{I_{0}}(S)\vec{\Omega }\)

 

Propriétés de la matrice d’inertie

La matrice a les propriétés suivantes :

  • Tout plan de symétrie est plan principal d’inertie : D = E = 0 si Oxy est un plan de symétrie.
  • Tout axe de symétrie est axe principal d’inertie : D = E = F = 0 si Oz est axe de symétrie.
  • La matrice centrale d’inertie d’une ensemble est sa matrice d’inertie en son centre de gravité.

 

Théorème de Huyghens

En un point quelconque

En utilisant la relation matricielle entre vecteurs vue plus haut ainsi que la relation de Chasles, on obtient :

\(\bar{I_{0}}(S) = \bar{I_{G}}(S) + \bar{I_{0}}(m_{G})\)

On notera que pour G(xg,yg,zg) :

\(\bar{I_{0}}(m_{G}) = m\begin{pmatrix} y_{g}^2 + z_{g}^2 & -x_{g}y_{g} & -x_{g}z_{g} \\ -x_{g}y_{g} & y_{g}^2 + x_{g}^2 & -y_{g}z_{g} \\ -x_{g}z_{g}& -y_{g}z_{g} & x_{g}^2 + y_{g}^2 \end{pmatrix} \)

 

Par rapport à un axe

Soit un axe Δ et d la distance entre Δ et G. La formule suivante donne la relation entre le moment d’inertie par rapport à Δ et celui par rapport à l’axe parallèle à Δ mené par G.

IΔ = IΔG + md2

De même, par rapport à deux plan (si a et b sont les distances de G par rapport à ces plans) :

JOyzOxz = JOyzOxz +mab

Par rapport à un axe quelconque

Si O est un point de l’axe Δ (Oxyz orthonormé) et si u(α,β,γ) est un vecteur unitaire de Δ :

\(I_{\Delta } = \vec{u}.(\bar{I_{0}}.\vec{u})\)

On obtient la formule à partir de \(d^2 = (\vec{u}\wedge\vec{OP})^2\).

En développant on obtient :

IΔ = Aα2 + Bβ2 + Cγ2 – 2Dβγ – 2Eγα – 2Fαβ

 

Exercice d’application

Calculons la matrice d’inertie d’un cylindre de masse M, de section de rayon R et de hauteur H. On nomme O le centre de la base. La masse volumique est μ.

cylindre

Matrice centrale du cylindre

L’axe Gz est un axe de symétrie, donc D = E = 0.

L’axe Gx est aussi axe de symétrie, donc E = F = 0.

Gx et Gy sont permutables, donc A = B.

On utilise les coordonnées cylindriques : ρ, θ, z.

d’où dm = μdv = μ dz dρ ρdθ

 

moment inertie exo C

or μ = M / (πR2H) donc C = MR2/2

moment-inertie-exo-ABC

Les plans Gxz et Gyz sont permutables. Par conséquent A’ = B’ = C/2, donc A = C/2 + IGxy = C/2 + C’

moment inertie exo C prime

d’où A = MR2/4 + MH2/12

et

moment inertie exo matrice centrale

 

Matrice d’inertie en O

On applique le théorème de Huygens.

\(\bar{I_{0}} = \bar{I_{G}} + \bar{I_{0}}(m_{G})=m\begin{pmatrix} y_{g}^2 + z_{g}^2 & -x_{g}y_{g} & -x_{g}z_{g} \\ -x_{g}y_{g} & y_{g}^2 + x_{g}^2 & -y_{g}z_{g} \\ -x_{g}z_{g}& -y_{g}z_{g} & x_{g}^2 + y_{g}^2 \end{pmatrix} \)

Avec le vecteur GO(xg, yg,zg) = (0,0,-H/2) :

moment inertie exo matrice en O

 

  Illustration : stevebidmead

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