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Moment d’un vecteur glissant (glisseur) – intégrales de Stieltjès

Je vous propose dans ce post de comprendre ce qu’est un vecteur glissant, encore appelé glisseur. Et aussi comment calculer son moment en un point ou par rapport à un axe. Nous verrons aussi les intégrales de Stieltjès.

vecteur glisseur moment

Glisseur – vecteur glissant

Un glisseur, ou vecteur glissant est un vecteur qui glisse sur une droite, son support, et défini par un point de ce support. Un glisseur est donc défini par un vecteur \(\vec{V}\) et un point P de sa droite support.

 

vecteur glissant glisseur

Glisseur

 

Moment d’un glisseur en un point

Moment en A du glisseur (\(P,\vec{V}\)) : \(\vec{M_{A}}(\vec{V})  = \vec{AP}\wedge \vec{V}= \vec{V}\wedge \vec{PA}\)

Sa valeur est indépendante du point P choisi sur le support. Car la norme du moment est toujours égale à celle de V x AH (bras de levier).

 

moment vecteur glissant

Moment d’un vecteur glissant

 

Moment en un autre point

\(\vec{M_{B}}(\vec{V})  = \vec{M_{A}}(\vec{V}) +  \vec{BA}\wedge \vec{V} = \vec{M_{A}}(\vec{V}) +\vec{V}\wedge \vec{AB}\)

 

Moment d’un glisseur par rapport à un axe

Soit un axe Δ passant par le point A, de vecteur directeur unitaire \(\vec{u}\). Le moment d’un glisseur par rapport à cet axe est égal à :

\(\vec{M_{\Delta}}(\vec{V})  = \vec{u}.\vec{M_{A}}(\vec{V}) = (\vec{u},\vec{AP},\vec{V})\)

Il est indépendant du point A choisi. Il est nul si :

  • le vecteur V est nul
  • ou son support coupe l’axe Δ
  • ou son support est parallèle à l’axe Δ.

 moment glisseur axe

Moment par rapport à un axe

 

Sa norme est égale à la distance entre le support de V (en bleu) et l’axe Δ (en vert) x la projection de V sur un axe perpendiculaire à Δ et OH la distance entre Δ et le support de V (le vecteur U est parallèle à Δ).

 

Intégrales de Stieltjès

On peut sommet des vecteurs et leurs moments. La somme des vecteurs est la résultante.

resultante somme moments

En passant en continu, on a les intégrales de Stieltjès :

integrale stieltjes

Et on a, en tout point de l’espace :

\(\vec{M_{B}}  = \vec{M_{A}} +  \vec{BA}\wedge \vec{R} = \vec{M_{A}} +\vec{R}\wedge \vec{AB}\)

 

  Illustration : StevePb

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