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Résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre

Attaquons-nous dans cet article à la résolution d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants du second ordre. Nous livrerons les astuces pour trouver une solution particulière.

 

equation differentielle lineaire second ordre

 

Équation différentielle linéaire du second ordre

Notations

On pourra reprendre ce qui a été dit sur l’EDL du premier ordre avec la dérivée seconde y ».

Une équation différentielle linéaire du second ordre est de la forme :

a(x) y’ ‘  + b(x) y’ + c(x) y = f(x)

On considèrera les EDL à coefficients constants.

On note l’équation ay’ ‘ + by’ + cy = f(x) où a est non nul (sinon on est du premier ordre).

 

Résolution de l’équation linéaire à coefficients constants sans second membre

Nous nous limitons ici aux équations linéaires à coefficients constants. Donc, de la forme a y’ ‘ + b y’ + c y = f(x)

L’équation sans second membre, ou encore appelée homogène, est de la forme :

a y’ ‘ + b y’ + c y = 0

La première étape consiste à résoudre l’équation du second degré :

ar2 + br + c = 0

On l’appelle l’équation caractéristique.

Selon le nombre et la nature des racines il y a 3 situations.

Forme de la solution de l’EDL homogène du 2ème ordre

Racines Solution sans second membre
r1 et r2 réelles distinctes

Aer1x + Ber2x

A et B réels

r1 réelle unique

(Ax + B) er1x

A et B réels

deux solutions complexes conjuguées

r1= α + iβ

r2= α – iβ

α et β réels

(Acos(βx) + Bsin(βx))eαx

A et B réels

 

Là aussi, dans le cas où les deux solutions sont réelles et confondues on a une dégénérescence et donc un polynôme de degré supérieur.

Dans le cas de solutions complexes α la partie réelle correspond au terme exponentiel et β la partie imaginaire correspondant à la partie « trigo » des sinus et cosinus. Penser au cercle trigonométrique et au plan complexe.

 

Résolution de l’équation différentielle avec second membre

La solution complète est :

y = ys + yp

Qui est la somme de la solution sans second membre et d’une solution particulière de l’équation avec second membre.

Voici une liste de solutions particulières selon la nature de f(x).

 

Solutions particulières communes pour l’équation différentielle ay’ ‘ + by’ + cy = f(x)

Forme de f(x) Forme solution particulière
P(x) de degré n

Q(x) de degré n si c ≠ 0

xQ(x) avec Q de degré n si c = 0 et b ≠ 0

x2Q(x) avec Q de degré n si c = 0 et b = 0

P(x) esx

avec s réel et P de degré n

Q(x) esx avec Q de degré n si s n’est pas racine de l’équation caractéristique

xQ(x) esx avec Q de degré n si s est racine simple de l’équation caractéristique

x2Q(x) esx avec Q de degré n si s est racine double de l’équation caractéristique

ou alors on effectue le changement de fonction

y = z esx

α cos(ωx + φ) + β sin(ωx + φ)

ω et φ réels, ω non nul

A cos(ωx + φ) + B sin(ωx + φ) si ±iω n’est pas racine de l’équation caractéristique

x ( A cos(ωx + φ) + B sin(ωx + φ) ) si ±iω est racine d’ordre 1 de l’équation caractéristique

P(x) cos(ωx + φ) + R(x) sin(ωx + φ)

ω et φ réels, ω non nul

 

Q1(x) cos(ωx + φ) + Q2(x) sin(ωx + φ) si ±jω n’est pas racine de l’EC

x ( Q1(x) cos(ωx + φ) + Q2(x) sin(ωx + φ) ) si ±iω est racine d’ordre 1 de l’équation caractéristique

avec deg(Qi) = max (deg(P), deg(R))

esx (α cos(ωx + φ) + β sin(ωx + φ))

s, ω et φ réels, ω et s non nuls

 on effectue le changement de fonction y = z esx

Si f(x) = f1(x) + f2(x) ci-dessus

F1(x) + F2(x)

On somme les deux solutions particulières

 

Comme moyens mnémotechniques on pourra remarquer que quand la partie en b (liée à y) est nulle il faut un degré de plus car il y a une sorte de dégénérescence.

Ainsi, la solution particulière comporte un polynôme de degré deg(P) si pas de dégénérescence, de degré deg(P) + 1 et valuation 1 si dégénérescence.

Je rappelle qu’un polynôme de valuation 1 n’a pas de terme constant. La valuation est le degré du monôme de plus bas degré du polynôme.

 

On remarque qu’il faut multiplier par x ou x2 quand il manque des « parties ».

 

Voir aussi :

 

Photo : geralt

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