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Résoudre une équation différentielle avec changement de variable

by Michel 2 Comments

Pour résoudre une équation différentielle aux dérivées partielles avec changement de variable il faut savoir trouver les dérivées partielles de fonctions composées.

Cet article rappelle comment faire.

changement de variable derivees partielles

Dérivées partielles de fonctions composées

Plantons le décor

Soit la fonction f \(\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}\) de trois variables à valeurs scalaires définie par :

f(x, y, z) = 2xy – 3 (x+z)

Soit g  de \(\mathbb{R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}^{3}\) définie par :

g(x,y) = (x+y4, y-3x2, 2x2 -3y)

 

La composée entre en scène

Maintenant, soit h la composée :   h = f o g

 

On change les notations

Changeons les notations pour y voir plus clair.

h(x,y) = f(u,v,w)    avec g(x,y) = (u,v,w)

Nous voulons calculer les dérivées partielles de h en x, y et z.

 

Les dérivées partielles avec changement de variable

Les dérivées partielles de h = f o g sont données par le produit matriciel suivant :

matrice changement variable derivees partielles

Ou, sous une autre forme :

vme_img_21102016_124052

Remarque : c’est une somme de produits.

Pour les dérivées partielles en y et z on remplace x respectivement par y et par z.

 

Un exemple pour bien comprendre

La dérivée partielle de h en x est donc :

hx = (2v-3)(1)+(2u)(-6x)+(-3)(4x)

hx = 2y-6x2-3 – 12x2-12y4 – 12x

hx =-12y4 – 18x2 + 2y – 12x – 3

 

Application : équation différentielle du premier ordre

Nous allons trouver les solutions f de classe C1 de \(\mathbb{R}^{2} \) de l’équation :

équation différentielle du premier ordre

Effectuons le changement de variable : u = x + y et v = x – y

On a donc x = (u + v) / 2  et y = (u – v)/2

En faisant quelques raccourcis au niveau notation (pour ne pas alourdir le propos) et en appliquant les formules du début de l’article on obtient :

vme_img_26102016_150633

 

L’équation différentielle est donc équivalente à :

vme_img_26102016_150909

f est donc une fonction ne dépendant que de u.

Les solutions de l’équation sont donc les fonctions f(x,y) = h(x+y), où h est une fonction C1.

 

Application : équation différentielle du deuxième ordre

Nous allons trouver les solutions f de classe C2 de \(\mathbb{R}^{2} \) de l’équation :

vme_img_26102016_154243

 

Posons u = (x + y)/2 et v = (x – y)/2 comme changement de variable

Calculons chaque dérivée partielle.

vme_img_26102016_161055

On utilise bien sûr le théorème de Schwarz pour égaler les deux dérivées secondes en u et v.

L’équation devient alors :

vme_img_26102016_161404

La dérivée partielle de f en v est donc une fonction ne dépendant que de v.

vme_img_26102016_164934

Donc f est de la forme H(v) + g(u).

D’où les solutions de l’équation différentielle : f (x,y) = g( (x+y)/2 ) + H( (x-y)/2 )

où g et H sont des fonctions de classe C2.

 

 

 

Comments ( 2 )

  1. Replyrk
    Bonjour, il ya deux choses que je ne comprends pas, serait il possible que vous me l'expliquiez ? 1- pourquoi la dérivée partielle de f en v est une fonction ne dépendant que de v? 2-g(u) c'est quoi ? pourquoi l'avoir ajouté ? merci beaucoup
    • ReplyMichel
      Bonjour, c'est simple : 1 - f est une fonction de u et v, par exemple. df/dv ne va plus dépendre d'autres variable que v car on dérive par rapport à v. Les autres variables sont considérées comme des constantes. Elles se dérivent donc en 0 ou deviennent des coefficients de fonctions de v. Exemple avec un polynôme : 2v3 + 4u5 - 7v2 + v -78u df/dv = 6v -14v +1 2 - quand on intègre df/dv, c'est un peu comme quand on calcule une primitive, on ajoute une constante car la constante, quand elle est dérivée, elle donne 0. Ici, c'est pareil,avec toute fonction de u. Pour avoir toutes les formes de f il faut ajouter une fonction de u quelconque (ce qui donne un espace vectoriel de solutions).

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